Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Contoh Soal
Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari adalah logika matematika. Ilmu ini menggabungkan ilmu logika dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan merupakan landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan.
Mempelajari ilmu ini sangat penting karena menjadi konsep dasar untuk menentukan benar atau salahnya sebuah kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam materi mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 materi tersebut adalah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam materi mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 materi tersebut adalah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan.
Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
A. Kalimat Terbuka Dan Pernyataan
Contoh:
A. Kalimat Terbuka Dan Pernyataan
Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mempunyai nilai kebenaran yang pasti.
Contoh:
Biarkan dia pergi!
Kapan kau menemuinya?
x + 1 > 0, x ∈ R
2 + x = 5
Pernyataan (proposisi) adalah kalimat tertutup yang mempunyai nilai kebenaran benar/salah, tidak keduanya pada saat yang bersamaan.
Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil (p, q, r, dst.) dan nilai kebenaran dilambangkan dengan τ(x), dengan B = benar, S = salah.
Contoh:
p : Hasil kali 5 dengan 6 adalah 30.
[τ(p) = B]
q : Seluruh bilangan prima adalah
ganjil. [τ(q) = S]
r : 20 + 3 > 1 [τ(r) = B]
s : x2 – x + 2 < 0. [τ(s) = S]
B. Kuantor Dan Negasi
Kuantor adalah simbol yang melambangkan kalimat terbuka dalam semesta pembicaraan pernyataan.
Kuantor terbagi menjadi dua:
1) Kuantor universal (∀)
Menyatakan adanya ‘seluruh’ atau ‘setiap’ hal yang terdapat dalam pernyataan.
∀x.p : semua x bersifat/berlaku bagi p.
a. Bernilai benar jika tidak ditemukan nilai x yang membuat p salah.
b. Bernilai salah jika ditemukan x yang membuat p salah.
2) Kuantor eksistensial (∃)
Menyatakan hanya adanya ‘beberapa’ atau ‘sebagian’ hal yang terdapat dalam pernyataan.
∃x.p : ada/beberapa x bersifat/berlaku bagi p.
a. Bernilai benar jika ditemukan nilai x yang membuat p benar.
b. Bernilai salah jika tidak ditemukan x yang membuat p benar.
Contoh:
P = {Adi, Ida, Rani}
Q = {Dita, Rina}
p(x,y) = “x adalah kakak y”
(∀.x∈P)(∃.y∈Q)(p(x,y)) : Untuk setiap x pada P, berhubungan dengan beberapa y pada Q, sedemikian hingga x adalah kakak dari y. Berarti, setiap anggota P adalah salah satu kakak dari anggota Q (Dita/Rina).
Negasi (ingkaran) adalah lawan atau kebalikan dari suatu pernyataan.
Negasi dilambangkan dengan ~p, dan dibaca bukan atau tidak.
Contoh:
p : Ibukota negara Indonesia adalah Jakarta.
[τ(p) = B]
~p : Ibukota negara Indonesia bukan Jakarta.
[τ(~p) = S]
q : 3 > 5 [τ(q) = S]
~q : 3 ≤ 5 [τ(~q) = B]
r : x² = 25 [τ(r) = B]
~r : x² ≠ 25 [τ(~r) = S]
Tabel kebenaran:
| p | ~p | q | ~q | r | ~r |
|---|---|---|---|---|---|
| B | S | S | B | B | S |
C. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah dua buah pernyataan atau lebih yang dihubungkan dengan operasi logika matematika.
Operasi logika matematika antara lain: konjungsi (Λ), disjungsi (V), implikasi (→), dan biimplikasi (↔).
Nilai kebenaran pernyataan majemuk biasanya dituliskan dalam tabel kebenaran.
D. Konjungsi & Disjungsi
Konjungsi menyatakan hubungan ‘p dan/meskipun/tetapi/walaupun q’, dan dilambangkan dengan Λ.
Nilai konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan benar (B Λ B).
Tabel kebenaran:
p | q | p Λ q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar |
B | S | S | Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah |
S | B | S | Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah |
Contoh:
p : Hari ini hujan. [τ(p) = B]
q : Hari ini berangin. [τ(q) = B]
p Λ q : Hari ini hujan dan berangin. [τ(p Λ q) = B]
Disjungsi menyatakan hubungan ‘p atau q’, dan dilambangkan dengan V.
Nilai disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan salah (S V S).
Tabel kebenaran:
| p | q | p V q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Contoh:
p : 5 + 10 = 20. [τ(p) = S]
q : 20 bukan bilangan genap. [τ(q) = S]
p V q : 5 + 10 = 20 atau 20 bukan bilangan genap. [τ(p V q) = S]
Disjungsi terdiri dari dua:
1) Disjungsi inklusif, yaitu disjungsi yang biasa digunakan, dimana kemungkinan benar ada tiga, yaitu hanya p yang benar, hanya q yang benar, atau benar kedua-duanya.
| p | p | p V q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
2) Disjungsi eksklusif, yaitu disjungsi yang bernilai benar jika hanya ada salah satu pernyataan yang benar, dilambangkan dengan ⊕ atau ⊻.
| p | p | p ⊻ q |
|---|---|---|
| B | B | S |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Konjungsi dan disjungsi dapat dianalogikan ke dalam rangkaian listrik.
Rangkaian listrik seri bersifat konjungsi, karena jika seluruh elemen terhubung (B Λ B), maka barulah arus listrik akan mengalir (B).
Rangkaian listrik paralel bersifat disjungsi, karena apabila seluruh elemen tidak terhubung (S V S), maka arus listrik akan terputus (S).
| p | q | rangkaian | p Λ q |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | tertutup | 1 |
| 1 | 0 | terbuka | 0 |
| 0 | 1 | terbuka | 0 |
| 0 | 0 | terbuka | 0 |
Analogi rangkaian listrik dari pernyataan logika matematika:
Contoh pernyataan:
[p V (q Λ r )] Λ [s V t]
E. Implikasi
Implikasi menyatakan hubungan ‘jika p maka q’ atau ‘q jika p’, dan dilambangkan dengan →.
Pernyataan jika (p) dari implikasi disebut hipotesis/premis, sedangkan pernyataan maka (q) dari implikasi disebut konsekuen/kesimpulan.
Nilai implikasi bernilai salah jika hipotesis benar namun konsekuennya salah (B → S).
Tabel kebenaran:
Contoh:
p : Hari ini mendung. [τ(p) = B]
q : Hari ini tidak akan hujan. [τ(q) = S]
p → q : Jika hari ini mendung maka hari ini tidak akan hujan. [τ(p Λ q) = S]
Macam-macam implikasi:
1) Konvers, merupakan kebalikan dari implikasi biasanya.
p → q menjadi q → p
2) Invers, merupakan implikasi yang kedua pernyataannya dinegasikan.
p → q menjadi ~p → ~q
3) Kontraposisi, merupakan kebalikan dari implikasi biasa yang kedua pernyatannya dinegasikan.
p → q menjadi ~q → ~p
F. Biimplikasi
Bimplikasi menyatakan hubungan ‘p jika dan hanya jika q’ atau ‘jika p maka q dan jika q maka p’, dan dilambangkan dengan ↔.
Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai sama (X ↔ X).
Tabel kebenaran:
Contoh:
p : Hari ini tidak hujan. [τ(p) = S]
q : Hari ini tidak mendung. [τ(q) = S]
p ↔ q : Hari ini tidak hujan jika dan hanya jika hari ini tidak mendung. [τ(p Λ q) = B]
G. Ekuivalensi Dan Aljabar Logika Matematika
Ekuivalensi dua pernyataan majemuk dapat dicari menggunakan tabel kebenaran dan aljabar logika matematika, dan dilambangkan dengan ≡.
Jenis-jenis tabel kebenaran dari hasil akhir nilai kebenarannya:
1) Tautologi, hasil akhirnya benar semua.
2) Kontradiksi, hasil akhirnya salah semua.
3) Kontingensi, hasil akhirnya ada yang benar dan ada yang salah.
Aljabar/sifat dalam operasi logika matematika:
IDEMPOTEN
p Λ p ≡ p
p V p ≡ p
KOMPLEMEN
p Λ ~p ≡ (S)
p V ~p ≡ (B)
IDENTITAS
p Λ (B) ≡ p
p V (B) ≡ (B)
p Λ (S) ≡ (S)
p V (S) ≡ p
ASOSIATIF
p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r
p V (q V r) ≡ (p V q) V r
ABSORPSI
p Λ (p V q) ≡ p
p V (p Λ q) ≡ p
INVOLUSI
~(~p) ≡ p
KOMUTATIF
p Λ q ≡ q Λ p
p V q ≡ q V p
DISTRIBUTIF
p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)
p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)
DE MORGAN
~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
~(p → q) ≡ p Λ ~q
~(p V q) ≡ ~p Λ ~q
~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~q
~(∃.p) ≡ ∀.(~p)
~(∀.p) ≡ ∃.(~p)
IMPLIKASI
p → q ≡ ~p V q
p → q ≡ ~q → ~p
q → p ≡ ~p → ~q
p ↔ q ≡ (p → q) Λ (q → p)
Contoh:
Buktikan bahwa ~(p ↔ q) ekuivalen dengan p ↔ q dengan tabel kebenaran dan aljabar logika matematika!
Dengan tabel kebenaran
Dengan aljabar logika matematika
= ~(p ↔ q) De Morgan
= ~[(p → q) Λ (q → p)] sifat implikasi
= ~[(~p V q) Λ (~q V p)] De Morgan
= ~(~p V q) V ~(~q V p) De Morgan
= (p Λ ~q) V (q Λ ~p) distributif
= [(p Λ ~q) V q] Λ [(p Λ ~q) V ~p] distributif
= [(p V q) Λ (~q V q)] Λ [(p V ~p) Λ (~q V ~p)]
P (B) (B) P
komplemen lalu identitas
= (p V q) Λ (~q V ~p) sifat implikasi
= (~p → q) Λ (q → ~p) pengertian biimplikasi
= ~p ↔ q ekuivalen
H. Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan dikatakan sah apabila:
Premis 1 : a
Premis 2 : b
——————
∴ c
logis bila (a Λ b) → c nilai akhirnya tautologi.
Tiga rumus logis premis-premis:
1) Modus Ponen
Premis 1 : p → q
Premis 2 : p
————————
∴ q
Jika p terjadi maka q terjadi, dan p terjadi lagi, maka dipastikan q terjadi.
2) Modus Tollen
Premis 1 : p → q
Premis 2 : ~q
————————
∴ ~p
Jika p terjadi maka q terjadi, namun q sebenarnya tidak terjadi, maka dipastikan p tidak terjadi.
3) Silogisme
Premis 1 : p → q
Premis 2 : q → r
————————
∴ p → r
Jika p terjadi maka q terjadi, dan jika q terjadi maka r terjadi, maka dipastikan jika p terjadi maka r terjadi juga.
Contoh:
Jika A berteman dengan B, maka A tidak berteman dengan C. C berteman dengan D atau C tidak berteman dengan A. Jika A berteman dengan D, maka C tidak berteman dengan D. Diketahui A berteman dengan D.
Jawab:
Analogi:
p = “A berteman dengan B”
q = “A berteman dengan C”
r = “C berteman dengan D”
s = “A berteman dengan D”
Pernyataan:
1) p → ~q
2) r V q ≡ ~r → q
3) s → ~r
4) s
Kesimpulan:
Jadi, kesimpulannya adalah, A tidak berteman dengan B.