Rumus Teorema Pythagoras Segitiga dan Contoh Soal

Oleh Admin

Rumus Pythagoras - Rumus teorema pythagoras sangat erat berhubungan dengan sisi-sisi yang dimiliki oleh sebuah segitiga siku-siku, rumus ini dipakai untuk mengetahui salah satu panjang dari sisi segitiga.

Segitiga siku-siku sendiri adalah sebuah segitiga yang salah satu sudutnya mempunyai sudut 90⁰. Berikut ini adalah penampakan gambar bangun datar segitiga siku-siku.

Gambar segitiga siku-siku

Pada artikel ini, kita akan membahas tentang dalil teorema pythagoras ini beserta dengan contoh soal dan penyelesaiannya.

Pengertian Rumus Phytagoras

Rumus Phytagoras adalah rumus yang didapati dari Teorema Phytagoras. Teorema Phytagoras adalah teorema yang menerangkan tentang keberhubungan sisi-sisi yang terdapat dalam sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikiawan asal Yunani yang bernama Phytagoras.

Adapun bunyi Teorema Phytagoras adalah sebagai berikut.

Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi terpanjang adalah sama dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya.

Sejarah Pythagoras

Pythagoras merupakan nama seorang filsuf dari zaman Yunani Kuno yang hidup pada tahun 570 – 495 SM.

Namanya dipakai menjadi nama sebuah rumus dalam ilmu matematika yaitu teorema pythagoras, walaupun ia diragukan sebagai penemu teorema tersebut.

Dia adalah orang pertama yang membuktikan teorema ini secara matematis, oleh karena itu Pythagoras dinobatkan sebagai penemu teorema tersebut.

Dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras adalah sebuah dalil matematika mengenai segitiga siku-siku, yang berbunyi "Pada segitiga siku-siku berlaku bahwa kuadrat sisi miring atau hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lain”.

Hipotenusa adalah sisi miring yang merupakan sisi terpanjang sebuah segitiga siku-siku.

Misalkan:

Panjang alas segitiga adalah a
Panjang tingginya adalah b
Panjang sisi miringnya adalah c

Jika memakai dalil pythagoras, maka hubungan antara ketiganya bisa dirumuskan menjadi

a² + b² = c²

Pembuktian Dalil Teorema Pythagoras

Pembuktian teorema Pythagoras sangat erat kaitannya dengan luas segitiga dan persegi. Untuk membuktikan teorema tersebut mari lakukan dengan cara sebagai berikut.

Gambarlah 3 buah persegi empat dengan masing-masing panjang sisinya a = 3 satuan, b = 4 satuan, dan c = 5 satuan.
Buatlah sebuah segitiga dengan menggunakan sisi-sisi persegi empat yang telah tadi dibuat. Akan tampak sebuah segitiga seperti pada gambar dibawah.
Perhatikan luas ketiga persegi. Kalau kamu teliti, kamu akan menemukan bahwa luas persegi dengan sisi a ( 3 satuan )tambah luas persegi dengan sisi b ( 4 satuan ), sama dengan luas persegi dengan sisi c ( 5 satuan ).

Apakah hal tersebut hanya berlaku untuk persegi dengan ukuran sisi 3, 4, dan 5 saja? Jika belum yakin perhatikan dan cobalah eksplorasi alat edukatif berikut.

Selain alat peraga diatas kamu juga bisa melihatnya dalam bentuk video berikut ini

Rumus Pythagoras

Rumus pythagoras umum di pakai guna untuk mencari salah satu panjang dari segitiga siku-siku rumusnya adalah:

jumlah kuadrat seluruh sisi siku-siku = kuadrat sisi miring

Atau agar lebih mudah di pahami kita sesuaikan dengan gambar diatas maka rumusnya adalah:

a² + b² = c²

Keterangan:
c = sisi miring
b = sisi tegak
c = alas

Rumus phytagoras a² + b² = c²pada dasarnya bisa dinyatakan dalam beberapa bentuk, tergantung akan mencari panjang sisi a, b, atau c.

Berikut beberapa bentuk rumusnya

a² + b² = c²

c² = a² + b²

a² = c² – b²

b² = c² – a²

Untuk menyelesaikan masing-masing dari rumus diatas, bisa menggunakan nilai akar dari rumus phytagoras tersebut.

Dari gambar segitiga siku-siku di atas, kalian tentu bisa melihat bahwa sisi a dan sisi b saling tegak lurus.

Sisi a dan b tersebut bertemu di satu titik dan membentuk sudut 90⁰. Sedangkan sisi c adalah sisi miring yang berada tepat di di depan sudut siku-siku.

Catatan!!! rumus-rumus di atas hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Jika bukan segitiga siku-siku, maka tidak berlaku.

Kalkulator Pythagoras Online

Kalkulator pythagoras online untuk menghitung panjang sisi segitiga siku-siku memakai dalil/rumus pitagoras.

Masukan ukuran panjang 2 sisi yang diketahui lalu klik [hitung], panjang sisi yang lain akan terhitung otomatis lengkap dengan besar sudut A dan B.

Tripel Pythagoras (Pola angka)

Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan asli yang memenuhi ketentuan yaitu kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain.

Perhatikan contoh kelompok tiga bilangan asli berikut.

3, 4, 5

Kuadrat bilangan terbesar: 5² =25

Jumlah kuadrat dua bilangan lainnya: 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Oleh karena 5² = 3² + 4² , kelompok bilangan tersebut merupakan tripel Pythagoras.

6, 8, 12

Kuadrat bilangan terbesar: 12² =144

Jumlah kuadrat dua bilangan lainnya: 6² + 8² = 36 + 64 = 100

Oleh karena 12² ≠ 6² + 8² , kelompok bilangan tersebut bukan merupakan tripel Pythagoras.

Kelompok tiga bilangan asli dengan pola angka a-b-c yang memenuhi rumus pythagoras di atas disebut dengan tripel pythagoras.

Ada banyak sekali angka yang memenuhi kelompok bilangan tripel pythagoras ini, bahkan sampai angka yang sangat besar.

Contoh Tripel Pythagoras

Beberapa contoh kelompok bilangan tripel pythagoras dengan pola a-b-c di antaranya yaitu:

3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101
21 – 220 – 221
23 – 264 – 265
24 –143 – 145
25 – 312 – 313
27 - 364 - 365
dan seterusnya

Daftar diatas masih bisa diteruskan sampai kelompok bilangan yang sangat besar, Intinya kelompok bilangan tersebut akan sesuai ketika kamu memasukkan nilainya di rumus a² + b² = c²

Kebalikan Teorema Pythagoras

Kebalikan teorema Pythagoras adalah suatu cara untuk menentukan jenis sebuah bangun segitiga jika panjang sisi-sisinya diketahui.

Dengan kata lain, kegunaan kebalikan teorema Pythagoras adalah untuk menentukan jenis segitiga apakah itu berjenis segitiga lancip, siku-siku atau tumpul.

Untuk menentukan jenis suatu segitiga berdasarkan panjang sisi-sisinya, pertama kali kita harus menentukan mana sisi yang paling panjang. Sisi paling panjang inilah yang selanjutnya kita pakaisebagai patokan untuk menentukan jenis segitiga.

Perhatikan gambah dibawah ini:

Pada segitiga ABC jika panjang a, b, dan c diketahui, maka untuk menyelidiki jenis segitiganya kita dapat menggunakan prinsip kebalikan teorema Pythagoras, yaitu:

Jika a² = b² + c², maka termasuk segitiga siku-siku
Jika a² < b² + c², maka termasuk adalah segitiga lancip
Jika a² > b² + c², maka termasuk adalah segitiga tumpul

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal:
Sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B. Tentukan jenis segitiga tersebut apabila diketahui panjang sisi AB = 8 cm, BC = 15 cm, dan AC = 20 cm !

Jawab:
Misalkan a adalah sisi terpanjang dan b, c adalah dua sisi lainnya, maka diperoleh:
c = 20 cm, b = 8 cm, a = 15 cm.

c² = 20² = 400
a² + b² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289

Karena
c² > a² + b²
400 > 289
maka segitiga ABC termasuk dalam segitiga tumpul.

Contoh Soal:
Tentukan jenis segitiga berikut jika diketahui panjang sisi-sisinya adalah 10 cm, 12 cm, dan 15 cm !

Jawab:
Misalkan c adalah sisi terpanjang dan b, a adalah dua sisi lainnya, maka diperoleh:
c = 15 cm, b = 10 cm, a = 12 cm.

c² = 15² = 225

a² + b² = 12² + 10² = 144 + 100 = 344

Karena
c² < a² + b²
225 < 344
maka segitiga tersebut termasuk dalam segitiga lancip.

Contoh Soal:

Diketahui ΔABC dengan AB = 5 cm, AC = 9 cm dan BC = 12 cm. Tentukan jenis segitiga ABC, apakah segitiga lancip, siku-siku, atau tumpul.

Jawab:

BC adalah sisi terpanjang ΔABC.

BC² ↔ AC² + AB²

12² ↔ 9² + 5²

144 ↔ 81 + 25

144 > 106 (karena 144 lebih besar dari 106)

Maka segitiga ABC tersebut adalah segitiga tumpul.

Contoh Soal Pythagoras Segitiga

Agar kamu lebih memahami pembahasan tentang rumus ini, simak beberapa contoh soal penggunaan rumus pytaghoras lengkap beserta pembahasannya.

Contoh Soal Rumus Pythagoras 1

1. Jika di ketahui sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi tegak yang panjangnya 8 cm dan panjang alasnya adalah 6 cm. Hitunglah panjang sisi miring segitiga tersebut.

Jawab :

Jika c = sisi miring, b = sisi tegak dan c = alas maka

c² = b² + a²
c² = 8² + 6²
c² = 64 + 36
c² = 100
c = √100 cm
c = 10 cm

Maka sisi miring pada segitiga siku-siku tersebut panjangnya yaitu 10 cm.

Contoh Soal Rumus Pythagoras 2

1. Sebuah segi tiga memiliki panjang sisi BC 12 cm ,dan sisi AC 16 cm, berapa panjang sisi miring dari segitiga tersebut (AB) ?

Penyelesaian:

Diketahui :

BC = 12 cm
AC = 16 cm

Ditanya : Panjang AB ?

Jawab :

AB² = BC² + AC²
AB² = 12² + 16²
AB² = 144 + 256
AB² = 400

AB = √400
AB = 20

Sehingga, panjang sisi AB (miring) adalah 20 cm.

Contoh Soal Dalil Pythagoras 3

2. Diketahui sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi miring yang panjangnya 10 cm, dan sisi tegak segitiga 8 cm. Berapakah panjang sisi datar nya ?

Penyelesaian:

Diketahui: Kita buat permisalan, supaya lebih mudah

c = sisi miring , b = sisi datar , a = sisi tegak
c = 10 cm, a = 8 cm

Ditanya : Panjang sisi datar (b) ?

Jawab:

b² = c² – a²
b² = 10² – 8²
b² = 100 – 64
b² = 36

b = √36
b = 6 cm

Sehingga panjang sisi datar dari segitiga tersebut adalah 6 cm.

Contoh Soal Rumus Pythagoras 4

3. Berapa panjang dari sisi tegak suatu segitiga apabila diketahui sebuah segitiga siku-siku mempunyai sisi miring 15 cm, dan sisi datar 12 cm.

Penyelesaian:

Diketahui: Kita buat dulu permisalan dan nilainya

c = sisi miring , b = sisi datar , a = sisi tegak
c = 15 cm, b = 12 cm
Ditanya : Panjang sisi tegak (a) ?

Jawab:

a² = c² – b²
a² = 15² – 12²
a² = 225 – 144
a² = 81

a = √81
a = 9 cm

Dari sini, didapatkan panjang sisi segitiga bagian tegak adalah 9 cm.

Contoh Soal Rumus Pythagoras 5

5. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B digambarkan sebagai berikut.

Contoh Soal Pythagoras (Pitagoras) dan Penyelesaiannya:

Tentukan panjang sisi miring AC pada gambar di atas!

Jawab:
Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100
AC = √100
AC = 10
Jadi, panjang sisi AC pada segitiga siku-siku tersebut adalah 10 cm.

Contoh Soal Rumus Pythagoras 6

6. Sebuah segitiga siku-siku KLM dengan siku-siku di L digambarkan sebagai berikut.

Tentukan panjang sisi KL pada gambar di atas!

Jawab:
Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
KM² = KL² + LM²
KL² = KM² - LM²
KL² = 13² - 12²
KL² = 169 - 144
KL² = 25
KL = √25
KL = 5

Jadi, panjang sisi KL pada segitiga siku-siku tersebut adalah 5 cm.

Contoh Soal Rumus Pythagoras 7

7. Diketahui segitiga siku-siku DEF dengan siku-siku di E digambarkan sebagai berikut.

Tentukan panjang sisi DE pada gambar di atas!

Jawab:
Karena segitiga DEF di atas adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.
DF² = DE² + EF²
DE² = DF² - EF²
DE² = 15² - 9²
DE² = 225 - 81
DE² = 144
DE = √144
DE = 12

Jadi, panjang sisi DE pada segitiga siku-siku tersebut adalah 12 cm.

Contoh Soal Rumus Pythagoras 8

8. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 16 cm dan Panjang sisi BC = 12 cm. Tentukan panjang sisi AC pada gambar di atas!

Jawab:
Dari soal di atas dapat digambarkan sebuah segitiga siku-siku sebagai berikut.

Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras sebagai berikut.

c² = a² + b²
c² = 12² + 16²
c² = 144 + 256
c² = 400
c = √400
c = 20

Jadi, panjang sisi AC pada segitiga siku-siku ABC yang dimaksud di atas adalah 20 cm.

Aplikasi Rumus Phytagoras dalam Permasalahan Sehari-Hari

Rumus Phytagoras banyak ditemui dalam berbagai permasalahan sehari-hari. Berikut ini akan dijabarkan beberapa aplikasi rumus Phytagoras tersebut.

Contoh Soal Menentukan Jarak Kaki Tangga dengan Tembok

Perhatikan gambar di bawah ini dengan cermat.

Diketahui sebuah tangga disandarkan pada tembok. Jika panjang tangga adalah 5 m dan tinggi temboknya adalah 4 m, tentukan jarak antara kaki tangga dengan temboknya!

Jawab:
Misalkan jarak antara kaki tangga dan tembok adalah x, maka untuk menentukan nilai x dapat digunakan Rumus Phytagoras sebagai berikut ini.

sisi miring atau c = 5m
tinggi atau b = 4m
ditanyakan alas atau x
x² = c² - b²
c² = 5² - 4²
c² = 25 - 16
c² = 9
c = √9

c = 3

Jadi, jarak antara kaki tangga dan tembok adalah 3 m.

Contoh Soal Menentukan Jarak Titik Awal Keberangkatan ke Titik Akhir:

Perhatikan gambar berikut ini.

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 15 km ke arah utara. Setelah sampai di Pelabuhan B, kapal tersebut berlayar kembali sejauh 36 km ke arah timur. Hitunglah jarak antara pelabuhan A dengan titik akhir!

Jawab:
Dari soal di atas dapat dibuat gambar dengan informasi seperti yang ada di bawah ini.
ditanyakan sisi miring atau c
diketahui
b = 36km
a = 15km
maka:
Jarak pelabuhan A ke titik akhir
c² = 15² + 36²
c² = 225 + 1296
c² = 1521
c = √1521

c = 39

Jadi, jarak pelabuhan A ke titik akhir adalah 39 km.

Baca juga materi lainnya : Daftar Materi Pelajaran Matematika

Demikian pembahasan tentang Rumus( teorema ) Pythagoras semoga bermanfaat bagi kita semua salam sukses.()