✅Pengertian Bilangan Kompleks dan Contohnya

 A. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah sistem bilangan dalam ilmu matematika yang dinyatakan dalam bentuk a + bi  atau  a + ib  dengan a, b adalah sembarang bilangan real dan i adalah bilangan imajiner.

Bilangan kompleks dapat dinotasikan dengan huruf  “z”. 

B. Contoh Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan bilangan imajiner, berikut contoh bilangan kompleks.

• z = 2 + 3i
• z = -1 + 2i
• z = -5 -7i
• z = -5i
• z = 7i

Contoh-contoh bilangan kompleks di atas ditulis dalam bentuk a + bi. 

Pada contoh pertama yaitu z = 2 + 3i, kita dapati bahwa nilai a = 2 dan b = 3. Nilai a dan b yang terdapat dalam bilangan z = 2 + 3i apabila dinyatakan dalam bentuk pasangan berurutan menjadi z = ( 2 , 3 ).

C. Cara Menyatakan Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk z = a + bi. Bentuk ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan berurutan z = (a , b).

Selain dengan cara tersebut, terdapat beberapa cara lagi yang dapat digunakan untuk menyatakan bilangan kompleks.

Berikut akan dijelaskan beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyatakan bilangan kompleks.

C1. Bentuk Rectangular

Pada Sub Pembahasan Pengertian Bilangan Kompleks, disebutkan beberapa contoh bilangan kompleks yaitu:

Contoh:

• z = 2 + 3i
• z = -1 + 2i
• z = -5 -7i
• z = -5i
• z = 7i    

Contoh-contoh bilangan kompleks tersebut dinyatakan dalam bentuk z = a + bi.

Bentuk bilangan kompleks z = a + bi atau z = a + ib inilah yang dimaksud dengan bentuk rectangular.

Pada bentuk z = a + bi, nilai a dinamakan bagian real dari z dan dinyatakan dengan Re(z).

Untuk nilai b dinamakan bagian imajiner dari z dan dinyatakan dengan Im(z).

Sedangkan lambang z dinamakan peubah atau variabel kompleks. Selain hal tersebut, bilangan kompleks juga dapat digambarkan pada bidang Argand seperti gambar berikut ini.

Dalam bidang Argand, sumbu x mewakili Re(z) dan sumbu y mewakili Im(z).

C2. Bentuk Polar

Bilangan kompleks tidak hanya dapat dinyatakan dalam bentuk rectangular saja, tetapi juga bisa dinyatakan dalam bentuk polar. Misalkan dipunyai sembarang bilangan kompleks z = a + bi .

Untuk menjadikan bilangan kompleks tersebut berbentuk polar, maka kita harus menentukan nilai r dan θ dengan menggunakan rumus berikut.

$r = \sqrt{a^2+b^2}$

dan

$θ = arctan ⁡(\frac{b}{a})$

dengan:

r   : modulus bilangan kompleks;

θ  : Arg(z), merupakan argument bilangan kompleks;

a  : Re(z);

b  : Im(z).

Setelah mendapatkan nilai r dan θ, selanjutnya kita ubah bentuk a + bi  menjadi bentuk r = ( cosθ + i sinθ ) atau sering ditulis dengan r cis tetha.

Untuk lebih jelasnya, cermati soal berikut.

Contoh Soal:

Misalkan dipunyai bilangan kompleks z = 3 + √3i, maka diperoleh: 

a = 3 dan b = √3, sehingga

 r =  $\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}$

=  $\sqrt{9+3}$

=  $\sqrt{12}$

=  2$\sqrt{3}$

$θ = arctan ⁡(\frac{\sqrt{3}}{3})$

= 30^o

Dengan demikian bilangan komplek

z = 3 + √3i dapat dinyatakan dalam bentuk

z = 2√3( cos 30^o + i sin 30^o)

C3. Bentuk Eksponen

Selain berbentuk rectangular dan bentuk polar, penyataan bilangan kompleks juga dilakukan dalam bentuk eksponen.

Sebuah bilangan kompleks z = r = ( cosθ + i sinθ )dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen menjadi z = re^iθ.

Untuk memahami hal tersebut, pelajarilah contoh di bawah ini.

Contoh Soal:

Misal dipunyai bilangan kompleks z = 2√3( cos 30^o + i sin 30^o).

Bilangan kompleks tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen sebagai berikut

Dari ketiga bentuk bilangan kompleks di atas, bentuk yang sering digunakan adalah bentuk rectangular dan bentuk eksponen.

Bentuk rectangular biasanya digunakan pada operasi penjumlahan dan pengurangan. Sedangkan bentuk eksponen biasanya digunakan untuk operasi perkalian dan perpangkatan.

D. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Pada bilangan kompleks, terdapat beberapa operasi hitung. Salah satu diantaranya adalah operasi aljabar bilangan kompleks.

Adapun operasi aljabar yang akan dibahas adalah operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian, dan operasi perpangkatan.

D1. Operasi Penjumlahan

Misalkan dipunyai sebarang bilangan kompleks z₁ = a₁ + b₁i dan z₂ = a₂ + b₂i, operasi penjumlahan dua bilangan kompleks dapat dirumuskan dengan: 

 

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i

Contoh Soal:

Diketahui bilangan kompleks z₁ = 2 + 3i dan z₂ = 4 - 6i, tentukan hasil dari z₁ + z₂!

Diketahui:

a₁ = 2

a₂ = 4

b₁ = 3

b₂ = -6

Jawab:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i

z₁ + z₂ = (2 + 4) + (3 - 6) i

z₁ + z₂ = 6 - 3i

 

Jadi, hasil penjumlahan dari  adalah z₁ + z₂ adalah 6 - 3i.

D2. Operasi Pengurangan

Diketahui sebarang bilangan kompleks z₁ = a₁ + b₁i dan z₂ = a₂ + b₂i, operasi pengurangan dua bilangan kompleks dapat dirumuskan sebagai berikut: 

z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂) i

Contoh Soal:

Diketahui bilangan kompleks z₁ = 2 - 5i dan z₂ = 4 + 2i, tentukan hasil dari z₁ - z₂ !

Diketahui:

a₁ = 2

a₂ = 4

b₁ = -5

b₂ = 2

Jawab:

z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂) i

z₁ - z₂ = (2 - 4) + (-5 - 2) i

z₁ - z₂ = -2 -7i

Jadi, hasil pengurangan z₁ - z₂ adalah 2 -7i .

D3. Operasi Perkalian

Diketahui sembarang bilangan kompleks  z₁ = a₁ + b₁i dan z₂ = a₂ + b₂i. Adapun operasi perkalian dua bilangan kompleks tersebut dapat dirumuskan dengan sebagai berikut. 

z₁ . z₂ = (a₁a₂ − b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i

Operasi perkalian dalam bentuk rectangular di atas dapat diubah menjadi operasi perkalian bentuk eksponen dengan cara mengubah bilangan kompleks   dan   ke dalam bentuk polar eksponen yaitu   dan  . Adapun operasi perkalian dua bilangan kompleks dalam bentuk eksponen dapat dirumuskan sebagai berikut ini.

 

Contoh Soal:

Diketahui bilangan kompleks z₁ = 2 + 4i dan z₂ = 3 + 6i , tentukan hasil dari z₁ . z₂ !

Diketahui:

a₁ = 2

a₂ = 3

b₁ = 4

b₂ = 6

Jawab:

z₁ . z₂ = (a₁a₂ − b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i

z₁ . z₂ = (2.3 − 4.6) + (2.6 + 3.4)i

z₁ . z₂ = (6 − 24) + (12 + 12)i

z₁ . z₂ = (-18) + (24)i

z₁ . z₂ = -18 + 24i

Jadi, hasil perkalian dari z₁ . z₂ adalah -18 + 24i .

D4. Operasi pembagian

Operasi pembagian dua bilangan kompleks adalah proses perkalian dengan kebalikan dari bilangan kompleks yang ada.

Diketahui sembarang bilangan kompleks  z₁ = a₁ + b₁i dan z₂ = a₂ + b₂i. Adapun operasi pembagian dua bilangan kompleks tersebut dapat dirumuskan dengan sebagai berikut. 

$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2} + i \frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}\end{aligned}$$

 

Contoh Soal:

Tentukan hasil bagi antara bilangan kompleks z₁ = 2 + 5i dan z₂ = 3 + 4i !

Diketahui:

a₁ = 2

a₂ = 3

b₁ = 5

b₂ = 4

Jawab:

$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2} + i \frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{2.3+5.4}{3^2+4^2} + i \frac{5.3-2.4}{3^2+4^2}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{6+20}{9+16} + i \frac{15-8}{9+16}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{26}{25} + i \frac{7}{25}\end{aligned}$$

Jadi, hasil pembagian $\frac{z_1}{z_2}$ adalah $\frac{26}{25} + i \frac{7}{25}$ .

---

Materi lainnya: Daftar Isi Pelajaran Matematika

---

Sekian artikel “Bilangan Kompleks | Pengertian Bilangan Kompleks dan Contohnya“. Nantikan artikel menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share. Terima kasih…