Widget HTML Atas

Home / Bilangan

✅Bilangan Rasional & Irasional (Pengertian, Sifat, Contoh)

Oleh Admin

Tahukah kamu jika bilangan rasional dan irasional merupakan bagian dari sistem bilangan real (ℝ). Berikut akan dijelaskan tentang pengertian, macam macam, operasi, sifat, dan contohnya lengkap.

Pengertian Bilangan Rasional dan Irasional serta Contohnya

A. Pengertian Bilangan Rasional

Definisi bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac {a}{b}$, dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

Bilangan a merupakan pembilang dan bilangan b merupakan penyebut bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional biasanya dilambangkan dengan huruf tebal ℚ.

Dari definisi di atas, didapati bahwa bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.

Untuk mempermudah dalam memahami bilangan rasional, perhatikan contoh-contoh bilangan di bawah ini.

• 8 =  $\frac {8}{1}$

• 4,5 =  $\frac {9}{2}$

• √16 = 4 = $\frac {4}{1}$

• 0,55 =   $\frac {55}{100}$

Bilangan-bilangan di atas jelas merupakan contoh bilangan rasional karena dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac {a}{b}$, dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

Ciri-ciri bilangan rasional:

  • Bisa dinyatakan dalam pecahan biasa. Contoh : 2, -1, ½, …, dst
  • Bisa dinyatakan dalam pecahan desimal terbatas, seperti : 0,2 , 0,25 , 0,625 , …, dst
  • Dapat dinyatakan dalam pecahan desimal tak terbatas dan berulang, seperti:$\frac {1}{3}$ = 0,33333...
  • Dapat berupa bilangan yang terletak dibawah tanda akar seperti √1, √4, …..dst

A1. Macam Bilangan Rasional

Berdasarkan beberapa contoh bilangan rasional yang terdapat dalam sub pembahasan pengertian bilangan rasional, diketahui bahwa bilangan rasional dapat dikategorikan dalam beberapa macam. 

Berikut ini akan diuraikan macam-macam bilangan rasional.

a. Bilangan Asli

Bilangan asli atau yang dilambangkan dengan N adalah bilangan bulat positif yang dimulai dari bilangan 1. Adapun anggota dari bilangan ini antara lain:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …} 

b. Bilangan Cacah

Bilangan cacah yang dilambangkan dengan huruf C adalah bilangan asli beserta bilangan 0. Anggota dari bilangan cacah ini antara lain sebagai berikut.

C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …}

c. Bilangan Bulat

Bilangan bulat yang dilambangkan dengan huruf Z adalah anggota bilangan rasional yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Adapun yang menjadi anggota dari bilangan tersebut antara lain sebagai berikut.

C = { …, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

d. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan yang dilambangkan dengan P adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac {a}{b}$ , dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.

Bilangan a dinamakan sebagai pembilang dan b dinamakan sebagai penyebut. Adapun contoh bilangan-bilangan pecahan antara lain sebagai berikut.

P = 1/2 , 5/4 , -3/5

A2. Operasi Hitung Bilangan Rasional

Bilangan rasional merupakan bagian dari bilangan real. Dengan demikian, semua operasi hitung yang berlaku pada bilangan real juga berlaku pada bilangan rasional.

A3. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Rasional

Jika $\frac {a}{b}$, $\frac {c}{d}$ dan $\frac {e}{f}$ adalah bilangan rasional maka sifat-sifat bilangan rasional terhadap operasi hitung antara lain:

1. Tertutup, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

Setiap operasi penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional akan menghasilkan bilangan rasional.

$\frac {a}{b}$ + $\frac {c}{d}$ menghasilkan bilangan rasional

$\frac {a}{b}$ . $\frac {c}{d}$ menghasilkan bilangan rasional

2. Komutatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian 

$\frac {a}{b}$ + $\frac {c}{d}$ = $\frac {c}{d}$ + $\frac {a}{b}$

$\frac {a}{b}$ . $\frac {c}{d}$ = $\frac {c}{d}$ . $\frac {a}{b}$

3. Asosiatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

($\frac {a}{b}$ + $\frac {c}{d}$) + $\frac {e}{f}$ = $\frac {a}{b}$ + ($\frac {c}{d}$ + $\frac {e}{f}$)

($\frac {a}{b}$ . $\frac {c}{d}$) . $\frac {e}{f}$ = $\frac {a}{b}$ . ($\frac {c}{d}$ . $\frac {e}{f}$)

4. Distributif, perkalian untuk penjumlahan

$\frac {a}{b}$ . ($\frac {c}{d}$ . $\frac {e}{f}$) = $\frac {a}{b}$ . $\frac {c}{d}$ + $\frac {a}{b}$ . $\frac {e}{f}$

5. Ada elemen identitas penjumlahan dan perkalian

Bentuk $\frac {0}{1}$ merupakan elemen identitas penjumlahan bilangan rasional, karena bilangan rasional yang dijumlahkan dengan elemen identitas penjumlahan hasilnya adalah bilangan rasional itu sendiri.

$\frac {a}{b}$ + $\frac {0}{1}$ = $\frac {0}{1}$ + $\frac {a}{b}$ = $\frac {a}{b}$

Bentuk $\frac {1}{1}$ merupakan elemen identitas perkalian bilangan rasional, karena bilangan rasional yang dikalikan dengan elemen identitas perkalian hasilnya adalah bilangan rasional itu sendiri.

$\frac {a}{b}$ . $\frac {1}{1}$ = $\frac {1}{1}$ + $\frac {a}{b}$ = $\frac {a}{b}$

6. Ada element invers operasi penjumlahan dan perkalian

Bentuk $\frac {-a}{b}$ adalah invers penjumlahan untuk setiap bilangan rasional bilangan rasional $\frac {a}{b}$, sehingga berlaku persamaan:

$\frac {a}{b}$ + $\frac {-a}{b}$ = $\frac {-a}{b}$ + $\frac {a}{b}$ = $\frac {0}{1}$

Bentuk $\frac {b}{a}$ adalah invers perkalian untuk setiap bilangan rasional bilangan rasional $\frac {a}{b}$ ≠ 0, sehingga berlaku persamaan:

$\frac {a}{b}$ . $\frac {b}{a}$ = $\frac {b}{a}$ . $\frac {a}{b}$ = $\frac {1}{1}$

7. Perkalian dengan Nol (0)

Perkalian bilangan rasional dengan angka nol hasilnya adalah angka nol, sehingga berlaku persamaan:

$\frac {a}{b}$ . $\frac {0}{1}$ = $\frac {0}{1}$ = 0

B. Pengertian Bilangan Irasional

Bilangan irasional merupakan bilangan real yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional dapat didefinisikan sebagai berikut ini. 

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac {a}{b}$ , dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Selain itu, bilangan ini jika dibagi hasil baginya tidak pernah berhenti.

Untuk mempermudah dalam memahami definisi di atas, maka perhatikan contoh bilangan irasional di bawah ini.

• π (phi) = 3,14159 ...

•  √2 = 1,4142 ...

• √3 = 1,7320 ...

•  e (epsilon) = 2,71828 ...

Beberapa contoh di atas dikatakan sebagai bilangan irasional karena hasil baginya tidak pernah berhenti yaitu untuk  π memiliki nilai yaitu 3,14592653589793238462... . Sedangkan √2  memiliki nilai1,41421356….

B1. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Irasional

Sama seperti bilangan rasional, bilangan irasional pun merupakan bagian dari bilangan real. Dengan demikian, operasi hitung yang berlaku pada bilangan real juga berlaku pada bilangan irasional.

Sehingga sifat-sifat yang berlaku juga sama. Berikut disajikan sifat-sifat operasi hitung bilangan irasional.

Misalkan dipunyai sembarang bilangan irasional a, b, dan c, maka sifat-sifat bilangan irasional terhadap operasi hitung antara lain:

1. Tertutup, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

Setiap operasi penjumlahan dan perkalian antar bilangan irasional akan menghasilkan bilangan irasional.

a + b = c menghasilkan bilangan irasional
a x b = c menghasilkan bilangan irasional

2. Komutatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian 

Sifat komutatif penjumlahan:

a + b = b + a

Sifat komutatif perkalian:

a x b = b x a

3. Asosiatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

Sifat asosiatif penjumlahan:

(a + b) + c = a + (b + c)

Sifat asosiatif perkalian:

(a × b) × c = a × (b × c)

4. Distributif, perkalian untuk penjumlahan dan pengurangan

Sifat distributif perkalian untuk penjumlahan:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Sifat distributif perkalian untuk pengurangan:

a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

5. Ada elemen identitas penjumlahan dan perkalian

Pada penjumlahan, adapun yang menjadi elemen identitas adalah bilangan 0. Hal ini dikarenakan:

a + 0 = a

Pada perkalian, adapun yang menjadi elemen identitas adalah bilangan 1. Hal ini dikarenakan:

a x 1 = a

6. Ada element invers operasi penjumlahan dan perkalian

Misalkan dipunyai sembarang bilangan real a, maka invers dari bilangan tersebut pada operasi penjumlahan adalah –a. Hal ini dikarenakan:

a + (-a) = 0

Misalkan dipunyai sembarang bilangan irasional a, maka invers dari bilangan tersebut pada perkalian adalah 1/a . Hal ini dikarenakan:

a x 1/a = 1

7. Operasi Perkalian dengan Nol menghasilkan Nol

Bilangan irasional yang dikalikan dengan angka nol akan menghasilkan angka nol.

B2. Contoh Bilangan Irasional

Berikut diberikan contoh-contoh bilangan irasional antara lain sebagai berikut.

  • √2 = 1,414213…
  • √3 = 1,7320508…
  • π (phi) = 3,1415296…
  • e (epsilon) = 2,71828…
  • dan bilangan-bilangan irasional lainnya.

Demikian adalah beberapa contoh bilangan irasional yang biasa digunakan.

C. Perbedaan Bilangan Rasional dan Irasional

Dari penjelasan diatas kita bisa menjelaskan Apa perbedaan bilangan rasional dan bilangan irasional ?

Bilangan Rasional: bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk pembagian atau perbandingan dua bilangan bulat.

Bilangan Irrasional: bilangan yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pembagian atau perbandingan dua bilangan bulat.



Sekian materi “Pengertian Bilangan Rasional dan Irasional Beserta Contohnya”. Nantikan materi menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share. Terima kasih…