Garis Singgung Lingkaran - Pengertian, Sifat, Jenis & Contoh Soal

A. Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Pengertian garis singgung lingkaran yaitu suatu garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik dan garis tersebut tegak lurus terhadap garis tengah atau diameter lingkaran atau jari jari yang di tarik melalui titik singgung.

Perhatikan gambar di atas,  Garis yang telihat dalam gambar menyinggung atau memotong lingkaran di titik A. Dan bila di tarik garis dari titik O pusat lingkaran menuju titik singgung yaitu titik A akan membentuk sebuah garis tegak lurus. Seperti itulah yang disebut garis singgung lingkaran.()

B. Sifat Sifat Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran mempunyai beberapa sifat yang tercipta dari definisi garis singgung itu sendiri. Sifat-sifatnya adalah :

1. Setiap garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap diameter lingkaran yang ditarik melalui titik singgungnya. Titik singgung adalah titik pertemuan dari garis singgung dan lingkaran.
2. Melalui titik pada lingkaran hanya dapat dilakukan sekali dan hanya satu garis yang bersinggungan dengan lingkaran.
3. Melalui sebuah titik luar lingkaran dapat dibuat dua garis yang bersinggungan dengan lingkaran.
4. Jika dua garis singgung berpotongan pada suatu titik di luar lingkaran, maka jarak antara titik persimpangan itu sama dengan titik-titik singgung tangen yang sama.

C. Jenis Jenis Garis Singgung Lingkaran

Ada dua jenis garis singgung persekutuan dua buah lingkaran yaitu terdiri dari

1. Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
2. Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

Untuk lebih jelasnya simak penjelasan di bawah ini sampai selesai.

D. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Pembahasan pertama tentang materi garis singgung adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran persekutuan luar terjadi antara dua buah lingkaran serta sebuah garis singgung lingkaran. Perhatikan gambar dibawah ini.

Dari gambar diatas, terdapat informasi penting yang akan kita peroleh:

• jari-jari lingkaran yang berpusat di P = r1
• jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r2
• panjang garis singgung persekutuan luar adalah HF
• jarak titik pusat kedua lingakaran adalah PQ
• Misalnya garis HF kita geser sejajar ke bawah sejauh HQ maka diperoleh garis QS. Selanjutnya garis HF sejajar QS, sehingga ∠QSP = ∠HFP = 90º (sehadap).

Garis HF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, Dan Panjang HF adalah sama dengan panjang QS. Cara untuk mengetahui ukuran panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah menggunakan teorema pythagoras.

Perhatikan bahwa segitiga QSP merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di S. Memakai teorema phytagoras bisa didapat panjang QS yaitu sebagai berikut.

Sehingga, dari gambar dan penjelasan diatas maka rumus garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus berikut.

 Rumus Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Keterangan:

        HF = QS = Garis singgung persekutuan luar lingkaran

        PQ = Jarak antara kedua pusat lingkaran

        r1 = Jari-jari lingkaran besar

        r2 = jari-jari lingkaran kecil

E. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Sama seperti garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga terjadi antara dua buah lingkaran serta sebuah garis singgung. Perbedaan antara keduanya terletak di letak dan posisi garis singgung.

Pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, posisi dua titik singgung lingkaran terletak pada sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam dua lingkaran, posisi garis singgung terletak berlawanan. Agar lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar diatas, terdapat informasi penting yang akan kita peroleh:

• jari-jari lingkaran yang berpusat di P = r1
• jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r2
• panjang garis singgung persekutuan dalam adalah HF
• jarak titik pusat kedua lingakaran adalah PQ
• Misalnya garis HF kita geser sejajar ke bawah sejauh HQ maka diperoleh garis QS. Selanjutnya garis HF sejajar QS, sehingga ∠QSP = ∠HFP = 90º (sehadap).

Garis HF adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, Dan Panjang HF adalah sama dengan panjang QS.

Perhatikan bahwa segitiga QSP merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di S. Memakai teorema phytagoras bisa didapat panjang QS yaitu sebagai berikut.

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua llingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Keterangan:

        HF = QS = Garis singgung persekutuan luar lingkaran

        PQ = Jarak antara kedua pusat lingkaran

        r1 = Jari-jari lingkaran besar

        r2 = jari-jari lingkaran kecil

Demikian rumus mencari garis singgung lingkaran luar dan dalam persekutuan dua lingkaran. Selanjutnya, agar sobat lebih memahami penjelasan diatas, ayo kita berlatih mengerjakan contoh soal garis singgung persekutuan luar lingkaran dan garis singgung persekutuan dalam lingkaran berikut ini.

F. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran SMP Kelas 8

Perhatikan Gambar di bawah ini!

PQ adalah garis singgung lingkaran O dengan panjang jari-jari 10 cm. Jika diketahui panjang garis QR adalah 16 cm, Hitunglah luas segitiga QOS.

Pembahasan:

Diketahui:

jari jari lingkaran = 10cm

panjang garis QR = 16cm

Ditanyakan:

Luas segitiga QOS

Jawab:

Jari jari lingkaran = OR = OS = 10 cm

Panjang OQ = QR + OR = 16 + 10 = 26 cm

Sebelumnya kita harus mencari panjang garis QS terlebih dahulu.

PQ adalah garis singgung lingkaran, sehingga PQ tegak lurus dengan OS. Menggunakan rumus phytagoras kita dapat menghitung panjang garis QS.

Jadi panjang QS adalah 24 cm.

Maka luas segitiga QOS adalah

L segitiga QOS = ½ x alas x tinggi
L segitiga QOS = ½ x 10 x 24
L segitiga QOS = 120cm²

Jadi luas segitiga QOS adalah 120cm².

2. Contoh Soal dan Pembahasan Garis Singgung Lingkaran SMP Kelas 8

Perhatikan Gambar di bawah ini!

Diketahui besar sudut ABC adalah 50° serta titik A dan titik C keduanya merupakan titik singgung lingkaran garis CB dan garis AB pada lingkaran O, Hitunglah berapa besar sudut AOC.

Pembahasan:

Sudut yang terbentuk antara diameter dengan garis singgung lingkaran besarnya adalah 90° karena sudutnya siku-siku. Jadi besar ∠ BCO dan besar ∠ BAO adalah 90°.

Kedua segitiga diatas adalah kongruen atau sama besar.

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 180°. Jadi dapat kita hitung.

∠AOC = 2 x ∠BOC

∠BOC = 180° - ∠BCO - ∠OBC

---

∠OBC = ∠ABC : 2

∠OBC = 50° : 2  = 25°

---

∠BOC = 180 - ∠BCO - ∠OBC

∠BOC = 180° − 90° − 25° = 65°

---

∠AOC = 2 × ∠ BOC

∠AOC = 2 ×  65°

∠AOC = 130°

Jadi besar ∠ AOC adalah 130°.

3. Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran (SOAL UN Matematika SMP)

Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran 24 cm jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Maka panjang jari jari lingkaran yg lain adalah..

Pembahasan:

Dari soal diatas, kita bisa memperoleh gambar seperti berikut.

Jadi panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.

4. Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran


Perhatikan gambar dibawah ini!

Diketahu panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB!

Pembahasan:

Baca juga tutorial lainnya : Daftar Materi Pelajaran Matematika

Sekian pembahasan mengenai Garis Singgung Lingkaran - Pengertian, Sifat, Jenis & Contoh Soal tingkat SMP yang memuat rumus garis singgung lingkaran persekutuan dalam dan garis singgung lingkaran persekutuan luar. Nantikan artikel menarik lainnya di rumusmatematika.org, semoga bermanfaat.